Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
On réalise une réaction d'estérification en utilisant un mélange équimolaire contenant un volume $V_1 = 14,3\text{ mL}$ d'acide éthanoïque $\text{CH}_3\text{COOH}$ de densité $d_1 = 1,05$ et un volume $V_2 = 19,2\text{ mL}$ d'un alcool $A$ de formule brute $\text{C}_3\text{H}_8\text{O}$. On note $S$ le mélange obtenu.
L'alcool de formule brute $\text{C}_3\text{H}_8\text{O}$ possède deux isomères :
• propan-1-ol qui est un alcool de classe primaire de formule semi-développée : $\text{CH}_3-\text{CH}_2-\text{CH}_2-\text{OH}$
• propan-2-ol qui est un alcool de classe secondaire de formule semi-développée : $\text{CH}_3-\text{CH(OH)}-\text{CH}_3$
La constante d'équilibre $K$ associée à la réaction d'estérification dépend de la classe de l'alcool utilisé :
— pour l'alcool primaire : $K = 4$ ;
— pour l'alcool secondaire : $K = 2,25$.
Cette partie vise à déterminer la classe de l'alcool $A$.
Données :
• Les masses molaires : $M(\text{C}) = 12\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ; $M(\text{O}) = 16\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ; $M(\text{H}) = 1\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ;
• La masse volumique de l'eau : $\rho_e = 1\text{ g}\cdot\text{mL}^{-1}$.
On prépare 10 tubes à essai propres et secs, puis on introduit dans chaque tube un volume $V = 3,35\text{ mL}$ du mélange $S$. On place, à $t_0 = 0$, les dix tubes dans un bain-marie où la température est constante.
Pour déterminer la composition du mélange à un instant $t$ dans un tube, on le retire du bain-marie, on le refroidit avec de l'eau glacée et on dose l'acide éthanoïque restant avec une solution aqueuse d'hydroxyde de sodium $\text{Na}^+_{(\text{aq})} + \text{HO}^-_{(\text{aq})}$ de concentration molaire $C_B = 1\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$. On obtient l'équivalence pour un volume $V_{BE}$ de la solution d'hydroxyde de sodium versé.
La courbe de la figure 1 représente l'évolution temporelle du volume $V_{BE}$ : $V_{BE} = f(t)$.
- 1- Écrire l'équation modélisant la réaction du dosage. 0.25 pt
- 2- Montrer que la quantité de matière $n_E$ d'ester formée dans le mélange $S$ à un instant $t$ s'écrit :
$n_E(t) = \frac{d_1 \cdot \rho_e \cdot V_1}{M(\text{C}_2\text{H}_4\text{O}_2)} - 10 C_B \cdot V_{BE}(t)$ 0.5 pt - 3- Calculer $n_E(t_f)$ la quantité de matière de l'ester formé à l'état final. 0.5 pt
- 4- Montrer que : $V_{BE}(t_{1/2}) = \frac{V_{BE}(t_0) + V_{BE}(t_f)}{2}$, avec $t_{1/2}$ le temps de demi-réaction. Déduire la valeur de $t_{1/2}$. 0.75 pt
- 5- Déterminer la classe de l'alcool $A$ utilisé. 0.5 pt
- 6- Écrire, en utilisant les formules semi-développées, l'équation de la réaction d'estérification étudiée. 0.5 pt
- 7- Choisir parmi les procédés suivants, celui qui permet d'améliorer le rendement de cette réaction : 0.25 pt
a- On utilise un catalyseur approprié.
b- On élimine l'eau au fur et à mesure de sa formation.
c- On utilise un excès d'eau.
d- On élève la température du bain-marie.
Le bleu de bromothymol, souvent noté B.B.T, est un acide selon Brønsted, sa formule brute est $\text{C}_{27}\text{H}_{28}\text{Br}_2\text{O}_5\text{S}$, sa solution aqueuse change de teinte en fonction du pH, elle est jaune lorsque le $\text{pH} \le 6,0$ et bleue si $\text{pH} \ge 7,6$.
On représente dans ce qui suit sa forme acide par $\text{HIn}$ et sa forme basique par $\text{In}^-$.
La mesure du pH d'une solution aqueuse $S$ de cet indicateur coloré donne : $\text{pH} = 6$.
Données :
• Toutes les mesures sont effectuées à $25^\circ\text{C}$ ;
• Le produit ionique de l'eau : $K_e = 10^{-14}$ ;
• Les conductivités molaires ioniques : $\lambda(\text{NH}_4^+) = 7,35\text{ mS}\cdot\text{m}^2\cdot\text{mol}^{-1}$ ; $\lambda(\text{HO}^-) = 19,83\text{ mS}\cdot\text{m}^2\cdot\text{mol}^{-1}$.
- 1- Écrire l'équation chimique modélisant la réaction entre l'indicateur coloré $\text{HIn}_{(\text{aq})}$ et l'eau. 0.25 pt
- 2- La figure 2 représente la courbe de distribution de la forme acide du couple $\text{HIn}/\text{In}^-$. On définit la proportion de l'acide $\text{HIn}_{(\text{aq})}$ dans une solution aqueuse par : $p(\text{HIn}) = \frac{[\text{HIn}]_{\text{éq}}}{[\text{In}^-]_{\text{éq}} + [\text{HIn}]_{\text{éq}}}$
2-1- Montrer que $\tau$ le taux d'avancement final de la réaction s'écrit : $\tau = 1 - p(\text{HIn})$. Déterminer sa valeur dans la solution $S$. 0.75 pt
2-2- Trouver, à l'aide de la courbe, la valeur de la constante $\text{p}K_A$ du couple $\text{HIn}/\text{In}^-$. 0.5 pt
2-3- Déterminer $p_{\text{max}}(\text{HIn})$ la proportion maximale de l'acide pour que la solution prenne la teinte de la forme basique. 0.5 pt - 3- On ajoute quelques gouttes de cet indicateur coloré à une solution aqueuse d'ammoniac $\text{NH}_3$ de concentration molaire $C_B = 10^{-2}\text{ mol}\cdot\text{L}^{-1}$ et de conductivité $\sigma = 11,36\text{ mS}\cdot\text{m}^{-1}$. On néglige l'influence des ions $\text{H}_3\text{O}^+_{(\text{aq})}$ et des ions $\text{In}^-_{(\text{aq})}$ sur la conductivité de la solution.
3-1- Calculer $\tau'$ le taux d'avancement final de la réaction de l'ammoniac avec l'eau. 0.5 pt
3-2- Exprimer la constante d'acidité $K_A$ du couple $\text{NH}_4^+/\text{NH}_3$ en fonction de $C_B$, $K_e$ et $\tau'$. Vérifier que $\text{p}K_A \simeq 9,25$. 0.75 pt
3-3- Déterminer la teinte de la solution obtenue. 0.5 pt
L'uranium, métal lourd et radioactif, est principalement utilisé comme combustible dans les réacteurs nucléaires pour produire l'électricité. Il est naturellement présent dans la croûte terrestre sous formes de deux isotopes principaux :
• l'uranium 238 qui est faiblement radioactif, sa proportion actuelle en masse est $99,29\%$ ;
• l'uranium 235 est un élément radioactif et fissile, sa proportion actuelle en masse est $0,71\%$.
On modélise le bilan des désintégrations des deux isotopes par les équations :
$^{235}_{92}\text{U} \longrightarrow ^{207}_{82}\text{Pb} + x ^4_2\text{He} + y ^0_{-1}e$
$^{238}_{92}\text{U} \longrightarrow ^{206}_{82}\text{Pb} + 8 ^4_2\text{He} + 6 ^0_{-1}e$
Dans une étude théorique visant à estimer l'âge de la Terre, un chercheur pose l'hypothèse suivante :
« les deux isotopes se trouvaient en nombres égaux ($N_0(^{238}_{92}\text{U}) = N_0(^{235}_{92}\text{U})$) dans la Terre à l'instant de sa formation ($t_0 = 0$). »
Les courbes de la figure 1 représentent l'évolution au cours du temps du nombre de noyaux dans un échantillon contenant le même nombre initial $N_0$ de noyaux d'uranium 238 et de noyaux d'uranium 235. On désigne par :
• $N(^{238}_{92}\text{U})$ : le nombre de noyaux $^{238}_{92}\text{U}$ dans l'échantillon à un instant $t$ et $m_1$ leur masse.
• $N(^{235}_{92}\text{U})$ : le nombre de noyaux $^{235}_{92}\text{U}$ dans l'échantillon à un instant $t$ et $m_2$ leur masse.
Données :
• La constante radioactive de l'uranium 238 : $\lambda_1 = 1,55 \times 10^{-10}\text{ an}^{-1}$ ;
• La masse molaire de l'uranium 238 : $M_1 = 238\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ;
• La masse molaire de l'uranium 235 : $M_2 = 235\text{ g}\cdot\text{mol}^{-1}$ ;
• L'énergie de liaison du noyau du plomb 206 : $E_{\ell 2} = 1600,4\text{ MeV}$ ;
• L'âge de la terre est : $4,5 \cdot 10^9\text{ an}$ ;
• $1\text{ u} = 931,5\text{ MeV}\cdot c^{-2}$ ;
• Les masses : $m(p) = 1,0073\text{ u}$ ; $m(n) = 1,0087\text{ u}$ ; $m(^{238}_{92}\text{U}) = 238,0508\text{ u}$.
- 1- Calculer l'énergie de liaison $E_{\ell 1}$ du noyau de l'uranium 238 et déduire le noyau le plus stable parmi $^{238}_{92}\text{U}$ et $^{206}_{82}\text{Pb}$. 0.5 pt
- 2- Déterminer la valeur de $x$ et celle de $y$. 0.5 pt
- 3- Montrer que la courbe (a) correspond à l'évolution temporelle de $N(^{238}_{92}\text{U})$. 0.5 pt
- 4- Déterminer, en $\text{an}^{-1}$, la constante radioactive $\lambda_2$ de l'uranium 235. 0.5 pt
- 5- Écrire l'expression du rapport $\frac{N(^{238}_{92}\text{U})}{N(^{235}_{92}\text{U})}$ en fonction de $\lambda_1, \lambda_2$ et le temps $t$. 0.25 pt
- 6- Déterminer, selon le chercheur, l'âge $t_T$ de la Terre. Conclure à propos de son hypothèse. 0.5 pt
Les parties 1 et 2 sont indépendantes.
Pour étudier la charge d'un condensateur et sa décharge dans un dipôle $D$, on réalise le montage expérimental de la figure 1 qui se compose de :
• un générateur idéal de courant électrique qui débite un courant d'intensité constante $I = 200\text{ mA}$ ;
• un conducteur ohmique de résistance $R_1$ ;
• un condensateur de capacité $C$ initialement déchargé ;
• un dipôle $D$ modélisé par un conducteur ohmique de résistance $R$ qui ne fonctionne normalement que si la tension $u_D$ entre ses bornes est telle que : $u_D \ge U_f = 8,95\text{ V}$ ;
• un interrupteur $K$.
1- Charge du condensateur :
À un instant pris comme origine des dates $t = 0$, on bascule l'interrupteur $K$ en position 1.
L'étude expérimentale a permis d'obtenir la courbe de la figure 2 représentant l'évolution temporelle de l'énergie électrique $E_e(t)$ emmagasinée dans le condensateur lors de sa charge.
- 1-1- Montrer que $C = 0,5\text{ F}$. 0.5 pt
- 1-2- Trouver la durée $\Delta t$ nécessaire pour que la tension entre les bornes du condensateur atteigne la valeur $U_0 = 20\text{ V}$. 0.5 pt
2- Décharge du condensateur :
Lorsque la tension $u_C$ prend la valeur $U_0$, on bascule l'interrupteur $K$ en position 2 à un instant pris comme nouvelle origine des dates $t = 0$.
La courbe de la figure 3 représente l'évolution au cours du temps de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur lors de sa décharge.
- 2-1- Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$. 0.25 pt
- 2-2- Déduire que l'équation différentielle vérifiée par $E_e(t)$ l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur s'écrit : $\frac{dE_e}{dt} + \frac{2}{\tau} E_e = 0$ avec $\tau$ la constante du temps du dipôle $RC$. 0.25 pt
- 2-3- La solution de cette équation différentielle s'écrit : $E_e(t) = A e^{-\alpha t}$. Trouver l'expression de $A$ et celle de $\alpha$ en fonction des paramètres du circuit et $U_0$. 0.5 pt
- 2-4- Calculer $E_e(\tau)$ l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à l'instant $t = \tau$. En déduire la valeur de $R$. 0.5 pt
- 2-5- Trouver $\Delta t$ la durée du fonctionnement normal du dipôle $D$. 0.5 pt
Afin de réaliser la modulation d'amplitude, on utilise le circuit intégré multiplieur $X$. (Figure 4)
On applique à l'entrée :
• $E_1$, une tension sinusoïdale porteuse $u_1(t) = 6 \cos(2\pi \cdot 10^4 t)$ ;
• $E_2$, une tension $u_2(t) = s(t) + U_0$ avec $U_0$ la tension continue de décalage, et $s(t) = S_m \cos(2\pi \cdot f \cdot t)$ la tension modulante ($f \ll 10^4\text{ Hz}$).
On obtient à la sortie $S$ du multiplieur la tension modulée en amplitude $u_S(t)$ telle que : $u_S(t) = K \cdot u_1(t) \cdot u_2(t)$, $K$ étant une constante positive qui caractérise le multiplieur.
- 1- L'amplitude du signal modulé peut s'écrire sous la forme : $u_{sm}(t) = \alpha \cdot s(t) + \beta$. Déterminer l'expression de la constante $\alpha$ et celle de $\beta$. 0.5 pt
- 2- Pour vérifier la qualité de la modulation, on représente à l'aide d'un système d'acquisition approprié les variations de l'amplitude $u_{sm}(t)$ en fonction du signal modulant $s(t)$. (Figure 5)
2-1- Trouver la valeur de $K$ et celle de $U_0$. 0.5 pt
2-2- Calculer $m$ le taux de modulation et conclure. 0.5 pt - 3- Pour une bonne réception du signal modulé, on utilise un circuit bouchon (circuit sélectif) formé d'une bobine, d'inductance $L_0 = 60\text{ mH}$ et de résistance négligeable, et de deux condensateurs, montés en série, de capacité respectives $C_0 = 10\text{ nF}$ et $C_1$. Déterminer la valeur de $C_1$. 0.5 pt
La résonance mécanique peut apparaître lorsqu'un système oscillant est soumis à une excitation par un autre système.
L'étude des oscillations libres d'un système mécanique permet de comprendre à quelles conditions ce système peut entrer en état de résonance et comment contrôler ses oscillations.
Soit le système oscillant constitué de :
• un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur $K$ dont l'une des extrémités est attachée à un support ;
• un solide $S$ de masse $m$ et de centre d'inertie $G$ ;
• une poulie, de rayon $R$ et de moment d'inertie $J_\Delta$ par rapport à l'axe $(\Delta)$, susceptible de tourner sans frottement autour de l'axe horizontal $(\Delta)$ passant par son centre $I$.
L'extrémité libre du ressort et le solide $S$ sont reliés par un fil inextensible, de masse négligeable et passant sans glissement dans la gorge de la poulie (Figure 1).
On étudie le mouvement du système dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen. À l'équilibre, le centre d'inertie $G$ du solide est confondu avec $O$ l'origine du repère $R(O; \vec{k})$.
Données :
• L'intensité de pesanteur : $g = 10\text{ m}\cdot\text{s}^{-2}$ ;
• La masse de $(S)$ : $m = 100\text{ g}$ ;
• Le rayon de la poulie : $R = 2\text{ cm}$.
- 1- Montrer que l'expression de $\Delta \ell_0$ l'allongement du ressort à l'équilibre s'écrit : $\Delta \ell_0 = \frac{m \cdot g}{K}$. 0.5 pt
- 2- On écarte $S$ de sa position d'équilibre, verticalement vers le bas, d'une distance $d = 2\text{ cm}$ et on le lâche sans vitesse initiale à un instant pris comme origine des dates $t = 0$.
On repère, à un instant $t$, la position de $G$ par sa coordonnée $z$ dans le repère $R(O; \vec{k})$ et la position de la poulie par l'abscisse angulaire $\theta$.
Une étude expérimentale permet de tracer la courbe de la figure 2 représentant l'évolution de $z$ en fonction de $t$.2-1- Montrer que l'équation différentielle vérifiée par $z$ s'écrit : $\ddot{z} + \frac{K \cdot R^2}{J_\Delta + m \cdot R^2} z = 0$. 0.75 pt
2-2- La solution de cette équation différentielle s'écrit sous la forme : $z(t) = A \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} t + \varphi\right)$, $A$ étant l'amplitude des oscillations et $\varphi$ la phase à $t = 0$.
2-2-1- Déterminer la valeur de $\varphi$ et celle de $A$. 0.5 pt
2-2-2- Trouver l'expression de la période propre $T_0$ des oscillations. 0.5 pt - 3- Montrer que l'intensité $T_{\text{max}}$ de la tension maximale du fil appliquée sur $(S)$ s'écrit : $T_{\text{max}} = m \left( g + \frac{4\pi^2 d}{T_0^2} \right)$. Calculer sa valeur. 0.5 pt
- 4- On considère l'état où le ressort n'est pas déformé comme état de référence de l'énergie potentielle élastique ($E_{pe} = 0$) et le plan horizontal passant par $O$, la position de $G$ à l'équilibre, comme plan de référence de l'énergie potentielle de pesanteur ($E_{pp} = 0$).
L'énergie potentielle de la poulie est $E_{p0} = \text{cte}$ et l'expression de son énergie cinétique s'écrit : $E_c(P) = \frac{1}{2} J_\Delta \dot{\theta}^2$.
La courbe de la figure 3 représente la variation de $E_p$ l'énergie potentielle du système en fonction de $z$.4-1- Montrer que l'expression de l'énergie potentielle du système oscillant s'écrit : $E_p = \frac{1}{2} K (z^2 + \Delta \ell_0^2) + E_{p0}$. 0.75 pt
4-2- En utilisant les courbes des figures 2 et 3, déterminer la valeur de $K$ et vérifier que $J_\Delta \simeq 2,5 \times 10^{-5}\text{ kg}\cdot\text{m}^2$. 0.5 pt
4-3- En exploitant la conservation de l'énergie mécanique du système, calculer $v_1$ la vitesse de $G$ à l'instant $t_1 = 0,3\text{ s}$. 0.75 pt - 5- On remplace le solide $S$ par un autre solide $S'$ de masse $m'$. Un excitateur impose à ce nouveau système des oscillations de fréquence $F_e = 3\text{ Hz}$. Déterminer la valeur de $m'$ pour que le système soit en état de résonance mécanique. 0.5 pt